Le lagrangien d'un système dynamique est une fonction des variables dynamiques qui permet d'écrire de manière concise les équations du mouvement du système. Son nom vient de Joseph Louis Lagrange, qui a établi les principes du procédé. Attention, malgré l'emploi du même mot, le seul rapport avec le lagrangien que l'on trouve en optimisation est que lorsque l'on ajoute des contraintes géométriques ou cinématiques le critère gagne des termes avec multiplicateurs de Lagrange, cependant lorsque toutes les forces sont conservatives et introduites par un potentiel il n'y a aucun multiplicateur et ce n'est pas un 'lagrangien' au sens mathématique du terme. Les équations du mouvement s'obtiennent par application du principe de moindre action (ou principe d'action extrémale), qui s'écrit : avec l'action et l'ensemble des paramètres du système. Les équations du mouvement obtenues sont équivalentes aux équations d'Euler-Lagrange. Un système dynamique dont les équations du mouvement peuvent s'obtenir à partir d'un principe de moindre action et d'un lagrangien est un système dynamique lagrangien. C'est le cas de la version classique du modèle standard, des équations de Newton, des équations de la relativité générale, et de problèmes purement mathématiques comme les équations des géodésiques ou le problème de Plateau.

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